|
|
Volumes of unit balls of Lorentz spaces
Doležalová, Anna ; Vybíral, Jan (vedoucí práce)
Tato práce se zabývá objemem jednotkové koule v konečnědimenzionálních Lorentzových prosto- rech p,q n . Lorentzovy prostory jsou zobecnění Lebesguových prostorů s kvazinormou popsanou dvěma parametry 0 < p, q ≤ ∞. Pro objem jednotkové koule v konečnědimenzionálním Lorentzově prostoru doposud neexistoval žádný vzorec, přestože pro Lebesguovy prostory je tato formule známá již mnoho let. Předkládáme explicitní vzorec pro Vol(Bp,∞ n ) a Vol(Bp,1 n ). Popisujeme také asymptotické chování n-té odmocniny Vol(Bp,q n ) vzhledem k dimenzi n a dokazujeme, že [Vol(Bp,q n )]1/n ≈ n−1/p pro všechna 0 < p < ∞, 0 < q ≤ ∞. Dále zkoumáme podíl Vol(Bp,∞ n ) a Vol(Bp n). V závěrečné části se věnujeme poklesu čísel entropie pro vnoření Lorentzových prostorů.
|
|
|
Characterization of functions with zero traces via the distance function
Turčinová, Hana ; Nekvinda, Aleš (vedoucí práce) ; Edmunds, David Eric (oponent)
Necht' Ω ⊂ RN je oblast s lipschitzovskou hranicí, d(x) = dist(x, ∂Ω) je funkce vzdálenosti od hranice Ω a p ∈ (1, ∞). Známá charakterizace prostoru funkcí s nu- lovou stopou říká, že u ∈ W1,p 0 (Ω) právě tehdy, když platí u/d ∈ Lp (Ω) a zároveň ∇u ∈ Lp (Ω). Tento výsledek byl v poslední době několikrát vylepšen v tom smyslu, že podmínka u/d ∈ Lp (Ω) byla postupně zeslabována. Bylo dokázáno, že u ∈ W1,p 0 (Ω) právě tehdy, když platí u/d ∈ L1 (Ω) a zároveň ∇u ∈ Lp (Ω). Zatím nejlepší výsledek v tomto směru lze nalézt v autorčině bakalářské práci, kde je dokázáno, že podmínku u/d ∈ Lp (Ω) je možné zeslabit až na u/d ∈ L1,p (Ω), ovšem pouze v případě, kdy N = 1. V této diplomové práci dokážeme, že pro libovolnou dimenzi N ≥ 1, a každá p ∈ (1, ∞) a q ∈ [1, ∞) platí u ∈ W1,p 0 (Ω) právě tehdy, když u/d ∈ L1,q (Ω) a ∇u ∈ Lp (Ω). Na závěr pomocí protipříkladu ukážeme, že naši podmínku není možné nahradit podmínkou u/d ∈ L1,∞ (Ω). 1
|
|
|
Laplaceova transformace na prostorech funkcí
Buriánková, Eva ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Nekvinda, Aleš (oponent)
V této práci studujeme chování Laplaceovy transformace na Banachových prostorech funkcí invariantních vůči přerovnání. Náš hlavní cíl je popsat optimální cílový prostor, příslušející zadanému prostoru v kategorii Banachových prostorů funkcí invariantních vůči přerovnání. Nejdříve dokážeme klíčový odhad nerostoucího přerovnání obrazu dané funkce při Laplaceově transformaci. Tento odhad dále použijeme ke konstrukci optimálního cílového prostoru. Tento obecný postup aplikujeme na určení optimálních vztahů mezi Lebesgueovými a Lorentzovými prostory při Laplaceově transformaci.
|
|
|
Skorokompaktní vnoření prostorů funkcí
Křepela, Martin ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Spurný, Jiří (oponent)
Práce se zabývá studiem skorokompaktních vnoření prostorů funkcí, konkrétní zkoumanou třídou jsou klasické a slabé Lorentzovy prostory s normou danou pomocí obecné váhové funkce. Tyto prostory obecně nejsou Banachovy prostory funkcí, skorokompaktní vnoření je proto zavedeno pro obecnější struktury r.i. svazů funkcí (tedy svazů daných prostřednictvím funkcionálu invariantního vůči nerostoucímu přerovnání). Je dokázána obecná charakter- izace skorokompaktního vnoření r.i. svazu do Lorentzova prostoru pomocí optimální kon- stanty jistého spojitého vnoření. Na základě tohoto tvrzení a známých výsledků o spojitých vnořeních jsou následně poskytnuty explicitní charakterizace vzájemných skorokompaktních vnoření všech typů Lorentzových prostorů. 1
|
|
|
Inequalities for discrete and continuous supremum operators
Oľhava, Rastislav ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Cianchi, Andrea (oponent) ; Nekvinda, Aleš (oponent)
Nerovnosti pro diskrétní a spojité supremální operátory Rastislav O©hava V této práci studujeme spojité a diskrétní supremální operátory. V první části vyšetřujeme obecné vlastnosti operátor· Hardyova typu obsahujících supre- mum. Omezenost supremálních operátor· je dále využita pro charakterizaci interpolačních prostor· mezi dvěma Marcinkiewiczovými prostory. Ve druhé části uvádíme ekvivalentní podmínky pro omezenost supremálních operátor·, kde vzorovým prostorem je jeden z klasických Lorentzových prostor· Λp w1 nebo Γp w1 a cílovým prostorem Λq w2 nebo Γq w2 . V případě p ≤ q postupujeme pomocí techniky vložení vhodného prostoru, čímž obdržíme spojité podmínky. V pří- padě p > q uvádíme pouze částečné výsledky v podobě diskrétních podmínek získaných použitím diskretizační metody. Ve třetí části se zabýváme váhovou nerovností pro iterovaný diskrét ní operátor Hardyova typu. Obdržíme jeho cha- rakterizaci, která nám umožňuje převést problémový případ, když je vzorovým prostorem vážené ℓp s p ∈ (0, 1), na případ p = 1. To nám umožní nalézt spoji- tou analogii zkoumané diskrétní nerovnosti. Práce se skládá z publikovaných i nepublikovaných autorových výsledk· spolu s materiálem, který se objevuje v literatuře.
|
|
|
Volumes of unit balls of Lorentz spaces
Doležalová, Anna ; Vybíral, Jan (vedoucí práce) ; Lang, Jan (oponent)
Tato práce se zabývá objemem jednotkové koule v konečnědimenzionálních Lorentzových prosto- rech p,q n . Lorentzovy prostory jsou zobecnění Lebesguových prostorů s kvazinormou popsanou dvěma parametry 0 < p, q ≤ ∞. Pro objem jednotkové koule v konečnědimenzionálním Lorentzově prostoru doposud neexistoval žádný vzorec, přestože pro Lebesguovy prostory je tato formule známá již mnoho let. Předkládáme explicitní vzorec pro Vol(Bp,∞ n ) a Vol(Bp,1 n ). Popisujeme také asymptotické chování n-té odmocniny Vol(Bp,q n ) vzhledem k dimenzi n a dokazujeme, že [Vol(Bp,q n )]1/n ≈ n−1/p pro všechna 0 < p < ∞, 0 < q ≤ ∞. Dále zkoumáme podíl Vol(Bp,∞ n ) a Vol(Bp n). V závěrečné části se věnujeme poklesu čísel entropie pro vnoření Lorentzových prostorů.
|
|
|
Inequalities for discrete and continuous supremum operators
Oľhava, Rastislav ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Nekvinda, Aleš (oponent)
Nerovnosti pro diskrétní a spojité supremální operátory Rastislav O©hava V této práci studujeme spojité a diskrétní supremální operátory. V první části vyšetřujeme obecné vlastnosti operátor· Hardyova typu obsahujících supre- mum. Omezenost supremálních operátor· je dále využita pro charakterizaci interpolačních prostor· mezi dvěma Marcinkiewiczovými prostory. Ve druhé části uvádíme ekvivalentní podmínky pro omezenost supremálních operátor·, kde vzorovým prostorem je jeden z klasických Lorentzových prostor· Λp w1 nebo Γp w1 a cílovým prostorem Λq w2 nebo Γq w2 . V případě p ≤ q postupujeme pomocí techniky vložení vhodného prostoru, čímž obdržíme spojité podmínky. V pří- padě p > q uvádíme pouze částečné výsledky v podobě diskrétních podmínek získaných použitím diskretizační metody. Ve třetí části se zabýváme váhovou nerovností pro iterovaný diskrét ní operátor Hardyova typu. Obdržíme jeho cha- rakterizaci, která nám umožňuje převést problémový případ, když je vzorovým prostorem vážené ℓp s p ∈ (0, 1), na případ p = 1. To nám umožní nalézt spoji- tou analogii zkoumané diskrétní nerovnosti. Práce se skládá z publikovaných i nepublikovaných autorových výsledk· spolu s materiálem, který se objevuje v literatuře.
|
|
|
Characterization of functions with zero traces via the distance function
Turčinová, Hana ; Nekvinda, Aleš (vedoucí práce) ; Edmunds, David Eric (oponent)
Necht' Ω ⊂ RN je oblast s lipschitzovskou hranicí, d(x) = dist(x, ∂Ω) je funkce vzdálenosti od hranice Ω a p ∈ (1, ∞). Známá charakterizace prostoru funkcí s nu- lovou stopou říká, že u ∈ W1,p 0 (Ω) právě tehdy, když platí u/d ∈ Lp (Ω) a zároveň ∇u ∈ Lp (Ω). Tento výsledek byl v poslední době několikrát vylepšen v tom smyslu, že podmínka u/d ∈ Lp (Ω) byla postupně zeslabována. Bylo dokázáno, že u ∈ W1,p 0 (Ω) právě tehdy, když platí u/d ∈ L1 (Ω) a zároveň ∇u ∈ Lp (Ω). Zatím nejlepší výsledek v tomto směru lze nalézt v autorčině bakalářské práci, kde je dokázáno, že podmínku u/d ∈ Lp (Ω) je možné zeslabit až na u/d ∈ L1,p (Ω), ovšem pouze v případě, kdy N = 1. V této diplomové práci dokážeme, že pro libovolnou dimenzi N ≥ 1, a každá p ∈ (1, ∞) a q ∈ [1, ∞) platí u ∈ W1,p 0 (Ω) právě tehdy, když u/d ∈ L1,q (Ω) a ∇u ∈ Lp (Ω). Na závěr pomocí protipříkladu ukážeme, že naši podmínku není možné nahradit podmínkou u/d ∈ L1,∞ (Ω). 1
|
|
|
Characterization of functions vanishing at the boundary
Turčinová, Hana ; Nekvinda, Aleš (vedoucí práce) ; Edmunds, David Eric (oponent)
Nechť Ω ⊂ Rn je oblast s mírně regulární hranicí, p ∈ (1,∞) a nechť d je funkce vzdálenosti od hranice definovaná vztahem d(t) = dist(t,∂Ω), t ∈ Rn . Předpokládejme, že funkce u je prvkem Sobolevova prostoru W1,p (Ω). Klasický výsledek tvrdí, že pak u ∈ W1,p 0 (Ω) právě tehdy, když u d ∈ Lp (Ω) a ∇u ∈ Lp (Ω). Toto tvrzení bylo později několikrát vylepšeno oslabením podmínky u d ∈ Lp (Ω). První takový výsledek ukázal, že postačí u d ∈ Lp,∞ (Ω), později bylo dokázáno, že stačí pouze u d ∈ L1 (Ω). Tvrzení bylo navíc rozšířeno i pro Sobolevovy prostory vyšších řádů. V této práci dále vylepšíme předchozí výsledky v případě, kdy dimenze n = 1 a Ω je otevřený interval I. Náš hlavní výsledek ukazuje, že u ∈ W1,p 0 (I) právě tehdy, když u d ∈ L1,p (I) a u′ ∈ Lp (I). 1
|
|
|
Behavior of one-dimensional integral operators on function spaces
Buriánková, Eva ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Nekvinda, Aleš (oponent)
V této práci se zabýváme jednodimenzionálními integrálními operátory a jejich působením na Banachových prostorech funkcí invariantních vůči přerovnání. Náš hlavní cíl je charakterizovat optimální cílový a optimální výchozí prostor, který přísluší zadanému prostoru v rámci kategorie prostorů invariantních vůči přerovnání. Další cíl je vyrobit bodový odhad nerostoucího přerovnání obrazu daného operátoru aplikovaného na zadanou funkci. Tyto obecné výsledky dále použijeme pro získání optimality ve speciálních případech prostorů funkcí. Zaměříme se především na Laplaceovu transformaci, důležitý příklad zkoumaných operátorů. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
host ::
RSS.